Totální diferenciál je v matematicediferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných. Vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných směrem od daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, tak funkce v daném bodě má totální diferenciál nebo že je v daném bodě diferencovatelná.
Pokud v bodě existuje totální diferenciál funkce n proměnných , pak je to lineární funkce
Nechť je funkcenreálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu . Totálním diferenciálem funkce v bodě nazýváme lineární funkci, s níž lze funkci v okolí bodu aproximovat jako
tak, že pro chybu aproximace platí
.
Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar
a říkáme, že funkce má v bodě totální diferenciál neboli že je v bodě diferencovatelná.
Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat 2D funkci a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu.
Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit .
Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci
, ,
Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení na dostaneme
Nyní se podívejme na grafy funkcí a
Graf č.1
Z grafu je vidět že geometrický význam totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci v bodě
Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.