Peanovy axiomy

Giuseppe Peano (1858–1932) byl italský matematik, filosof a logik (portrét asi z roku 1920).

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou $\mathbb {N} _{0}$. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s $\mathbb {N} _{0}$. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomů

Formální zápis

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následovníkem žádného čísla):

• $(\exists x)(\forall y)(y'\neq x)$
• $(\forall x)(\exists y)(x'=y)$
• $(\forall x)(\forall y)(x'=y'\rightarrow x=y)$
• $(\forall \varphi )(\varphi (0)\land (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (x'))\rightarrow (\forall x)\,\varphi (x))$

Slovní zápis

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

• Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následovníkem žádného čísla.
• Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
• Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
• Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukce

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost $\varphi$. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud $p$ je výrok závisející na $n$, tak:

$\exists n'\in \mathbb {N} \ (p(n')\wedge (\forall n\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ (p(n)\implies p(n+1)))\implies \forall m\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ p(m)$.

Pokud je možné najít $n'$ pro které platí výrok $p$ a pokud pro výrok $p$ platí pro $n$ větší $n'$, tak platí pro $n+1$, potom výrok $p$ platí pro každé $m$ větší $n'$.

Definice operací a uspořádání na přirozených číslech

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

• Součet $\,a+b$ definujeme indukcí podle druhého sčítance: $\,a+0=a,\;a+b'=(a+b)'$.
• Součin $a\cdot b$ definujeme indukcí podle druhého činitele: $a\cdot 0=0,\;a\cdot b'=a\cdot b+a$.
• Relaci $a\leq b$ definujeme formulí $a\leq b\leftrightarrow (\exists c)(a+c=b)$.

Přirozená čísla bez nuly

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související články

• Peanova aritmetika
• Robinsonova aritmetika
• Presburgerova aritmetika
• Gödelovy věty o neúplnosti

Portály: Matematika